Μαθηματικά – Ενότητα 3 – Επανάληψη – Κλάσματα

Ξεκινάμε με μία υπενθύμιση: Πώς μετατρέπουμε τους μεικτούς αριθμούς σε κλάσματα;

Και πώς μετατρέπουμε ένα κλάσμα μεγαλύτερο του 1 σε μεικτό αριθμό; Με την αντίστροφη διαδικασία: ρωτάμε "πόσες φορές χωρά ο παρονομαστής στον αριθμητή;" και έτσι βρίσκουμε το ακέραιο και το κλασματικό μέρος του μεικτού αριθμού.

1. Ισοδύναμα κλάσματα, ανάγωγα κλάσματα και σύγκριση κλασμάτων

* Πρέπει να θυμόμαστε ότι μπορούμε να φτιάξουμε ένα ισοδύναμο κλάσμα, αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό:

. Τι έκανα εδώ; Πολλαπλασίασα αριθμητή και παρονομαστή με το 2. Το καινούργιο κλάσμα είναι ισοδύναμο με το αρχικό:

Το ίδιο μπορεί να συμβεί και αν διαιρέσω:

* Όταν φτιάχνουμε ένα ισοδύναμο κλάσμα με διαίρεση, λέμε ότι απλοποιούμε το κλάσμα. Όταν ένα κλάσμα δεν απλοποιείται άλλο, λέμε ότι αυτό είναι ανάγωγο.

Παράδειγμα: Το κλάσμα δεν απλοποιείται άλλο. Είναι ανάγωγο.

* Ο πιο εύκολος τρόπος, για να συγκρίνουμε δύο κλάσματα, είναι κάνοντάς τα ομώνυμα.

Ας πούμε ότι έχουμε τα κλάσματα:

. Ποιο είναι μεγαλύτερο;

Θυμόμαστε τη διαδικασία με την οποία κάνουμε ομώνυμα δύο κλάσματα;

1. Βρίσκουμε το ΕΚΠ
2. Βάζουμε καπελάκια και μέσα σε αυτά τον αριθμό που πολλαπλασιάζω με τον παρονομαστή για να βρω το ΕΚΠ
3. Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον αριθμό στο "καπελάκι".

Εδώ το ΕΚΠ (11, 15) = 165

Άρα,

και

Άρα, μεγαλύτερο είναι το κλάσμα

2. Πράξεις με κλάσματα

Για να κάνουμε πράξεις πρέπει να θυμόμαστε τα εξής:

α. Μπορούμε να προσθέσουμε και να αφαιρέσουμε δύο κλάσματα αν είναι ομώνυμα. Γι' αυτό αν τα κλάσματά μας είναι ετερώνυμα, θα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα ακολουθώντας την ίδια διαδικασία που δείξαμε παραπάνω (που κάναμε τα κλάσματα ομώνυμα, για να τα συγκρίνουμε).

β. Τον πολλαπλασιασμό τον κάνουμε απευθείας (πολλαπλασιάζοντας αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή)

γ. Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα, κάνουμε τη διαίρεση πολλαπλασιασμό και αντιστρέφουμε το δεύτερο κλάσμα:

 

3. Αναγωγή στην κλασματική μονάδα - Προβλήματα με κλάσματα

Καταρχήν, στα προβλήματα πρέπει πάντα να ψάχνουμε λέξεις-κλειδιά που μας λένε τι πράξη θα κάνουμε:

• Έτσι, αν ψάχνουμε ποσότητες "μαζί" (ή υπάρχουν λέξεις όπως "και οι δύο", "άθροισμα" κτλ.) κάνουμε πρόσθεση
• Αν ψάχνουμε τη διαφορά μεταξύ δύο ποσών (με λέξεις όπως "πόσο έμεινε", "πόσο μεγαλύτερος", "πόσο μικρότερος" κτλ.) κάνουμε αφαίρεση
• Αν ξέρουμε το ένα και ψάχνουμε τα πολλά (ή το μέρος) κάνουμε πολλαπλασιασμό
• Αν ξέρουμε τα πολλά (ή το μέρος) και ψάχνουμε το ένα ή πρέπει να μοιράσουμε μία ποσότητα (με λέξεις-κλειδιά που σημαίνουν "μοιράζω") κάνουμε διαίρεση

Επειδή τα προβλήματα με κλάσματα δεν είναι εύκολα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την αναγωγή στην κλασματική μονάδα. Έτσι, αν μας δίνεται η αξία ενός κλάσματος μπορούμε να υπολογίσουμε την κλασματική μονάδα.

Π.χ., Τα μίας τούρτας ζυγίζουν 400 γραμμάρια. Πόσο ζυγίζει όλη η τούρτα;

Μπορούμε να υπολογίσουμε πόσο ζυγίζει όλη η τούρτα, αφού πρώτα υπολογίσουμε πόσο ζυγίζει το .

Άρα, γράφουμε:

Τα ζυγίζουν 400 γραμμάρια

Το ζυγίζει 400 : 2 = 200 γραμμάρια [διαίρεσα, επειδή ήξερα τα πολλά (2/5) και έψαχνα το ένα (1/5)]

Τα ζυγίζουν 200 x 5 = 1000 γραμμάρια.

Όταν, λοιπόν έχουμε να λύσουμε ένα πρόβλημα με κλάσματα, τότε: 

α. Βρίσκουμε αν λύνεται με πρόσθεση ή αφαίρεση. Αν ναι, τότε προχωράμε. 

β. Αν όχι, προσπαθούμε να το λύσουμε με αναγωγή στην κλασματική μονάδα.