Διαιρέτες και Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης – Βοήθεια στις ασκήσεις των Μαθηματικών

1. Διαιρέτες

Διαιρέτες λέγονται όλοι οι αριθμοί που διαιρούν ακριβώς έναν αριθμό. Έτσι, το 4 είναι διαιρέτης του 12, επειδή:

12 : 4 = 3

Όμως, το 5 δεν είναι, επειδή:

12 : 5 = 2 (+υπόλοιπο: 2). Η διαίρεση έχει υπόλοιπο, οπότε το 5 δε διαιρεί ακριβώς το 12. Άρα, δεν είναι διαιρέτης του.

Επειδή οι διαιρέτες είναι πάντα περισσότεροι από ένας, δεν είναι πάντα εύκολο να τους βρούμε. Π.χ., οι διαιρέτες του 12 είναι:

Δ (12): 1, 2, 3, 4, 6, 12

Οι διαιρέτες του 50 είναι:

Δ (50): 1, 2, 5, 10, 25, 50

Φυσικά οι διαιρέτες του 498 θα είναι πάρα πολλοί, οπότε το να τους βρούμε θέλει πολλή δουλειά. Αλλά, ας τους αφήσουμε για την ώρα!

2. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.)

Ένας πολύ χρήσιμος αριθμός είναι ο Μ.Κ.Δ. Είναι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης δύο ή περισσότερων αριθμών. Θα πείτε: "τι τον χρειάζομαι;"

Χμμμ... Ο Μ.Κ.Δ. είναι ένας πολύ χρήσιμος αριθμός. Θα δούμε παρακάτω ότι μας βοηθά να κάνουμε πιο εύκολα, πιο σωστά και πιο γρήγορα πράξεις με κλάσματα. Επίσης, κάποια αρκετά δύσκολα προβλήματα (σαν αυτά που έχουμε σήμερα για το σπίτι).

Για να τον βρούμε βρίσκουμε πρώτα όλους τους διαιρέτες των αριθμών μας. Παράδειγμα: Αν ψάχνουμε τον Μ.Κ.Δ. των αριθμών 16, 24, 36, κάνουμε:

Δ (16): 1, 2, 4, 8, 16

Δ (24): 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Δ (36): 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 24, 36

Άρα, Μ.Κ.Δ. (16, 24, 36): 4

Ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης των 3 αριθμών είναι το 4.

3. Βοήθεια στα προβλήματα του σημερινού μαθήματος

Αυτό είναι ένα δύσκολο πρόβλημα. Οι πληροφορίες που θα μας βοηθήσουν να βρούμε τι θα κάνουμε είναι:

1. θέλουμε να μοιράσουμε τα γραμματόσημα, τα οποία είναι 225.
2. θέλουμε να μην περισσέψει κανένα (οπότε ψάχνουμε έναν αριθμό που διαιρείται ακριβώς με το 225).
3. θέλουμε να βάλουμε όσο περισσότερα γραμματόσημα γίνεται σε κάθε σελίδα.

Πώς λοιπόν θα τα μοιράσουμε; Για να το βρούμε αυτό, θα πρέπει να βρούμε όλους τους διαιρέτες του 225 μέχρι το 30 (αφού οι σελίδες δε χωρούν περισσότερα μέχρι 30 γραμματόσημα).

Λύση

Δ (225): 1, 2, 3, 5, 9, 15, 25 και άλλοι που όμως είναι μεγαλύτεροι από το 30, οπότε δεν τους χρειαζόμαστε. Άρα, ο μεγαλύτερος αριθμός γραμματοσήμων που μπορούμε να βάλουμε σε κάθε σελίδα είναι 25.

Πληροφορίες που έχουμε: θέλουμε να:

1. μοιράσουμε τα μπαλόνια (άρα ψάχνουμε διαιρέτες)
2. σε όμοιες στήλες
3. που να είναι όσο τον δυνατόν περισσότερες

Οι δύο υπογραμμισμένες παραπάνω λέξεις δείχνουν ότι ψάχνουμε τον Μ.Κ.Δ.

Μ.Κ.Δ. (30, 45, 50) =

Δ (30): 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Δ (45): _________________________ (τους υπολογίζουμε)

Δ (50): _________________________ (τους υπολογίζουμε)

Θέλουμε να:

• μοιράσουμε τα μέλη της χορωδίας
• σε όμοιες ομάδες
• σε όσο τον δυνατόν περισσότερες ομάδες

Άρα, θα υπολογίσουμε τον Μ.Κ.Δ. των τριών αριθμών, αφού βρούμε τους διαιρέτες.

Δ (60): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Δ (120): _________________________ (τους υπολογίζουμε)

Δ (40): _________________________ (τους υπολογίζουμε)

Αφού βρούμε τον Μ.Κ.Δ. θα ξέρουμε σε πόσες ομάδες θα μπορούν να μοιραστούν οι "τραγουδιστές". Με μία διαίρεση θα μπορούμε να βρούμε πόσοι υψίφωνοι, μέσοι ή βαθύφωνοι θα μπουν σε κάθε ομάδα...

Όπως σας είπα και στην τάξη τα προβλήματα αυτά είναι δύσκολα. Αν δυσκολεύεστε ακόμη, θα τα συζητήσουμε και αύριο στην τάξη...