Μαθηματικά – Προετοιμασία για Διαγώνισμα – Ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά, Προβλήματα με ποσοστά

1. Ανάλογα Ποσά

α. Τι είναι τα ανάλογα ποσά;
Δύο ποσά είναι ανάλογα όταν αυξάνονται ή μειώνονται με τον ίδιο ακριβώς ρυθμό. Αν, για παράδειγμα, διπλασιάσουμε το ένα ποσό, θα διπλασιαστεί αυτόματα και το άλλο.

β. Πώς λύνουμε προβλήματα με ανάλογα ποσά: Με πίνακα Ποσών και Τιμών
Ο πιο σίγουρος τρόπος για να λύσουμε τέτοια προβλήματα είναι να οργανώσουμε τα δεδομένα μας σε έναν πίνακα.

• Στην πρώτη στήλη γράφουμε τα Ποσά (με λέξεις, π.χ., "Κιλά", "Ευρώ").

• Στις επόμενες στήλες βάζουμε τις Τιμές (τους αριθμούς που μας δίνει το πρόβλημα).

• Για τον αριθμό που ψάχνουμε, βάζουμε τον άγνωστο $x$.

Παράδειγμα:

Μια συνταγή για κέικ αναφέρει ότι για 4 μερίδες χρειαζόμαστε 200 γραμμάρια ζάχαρη. Πόσα γραμμάρια ζάχαρη θα χρειαστούμε αν θέλουμε να φτιάξουμε 10 μερίδες;

Λύση

1. Φτιάχνουμε τον πίνακα

2. Σκεφτόμαστε: Είναι τα ποσά μας ανάλογα; Η απάντηση είναι: ναι, επειδή για περισσότερες μερίδες θα χρειαστούμε περισσότερη ζάχαρη. 

3. Επειδή τα ποσά μας είναι ανάλογα, λύνουμε το πρόβλημα με σταυρωτά γινόμενα (πολλαπλασιάζοντας χιαστί). Η εξίσωση που θα σχηματίσουμε είναι: 

4 * x = 200 * 10
4 * x = 2000
x = 2000 : 4
x = 500

Απάντηση: Για 10 μερίδες θα χρειαστούμε 500 γραμμάρια ζάχαρη.

2. Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

α. Τι είναι τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά;
Δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα όταν η αύξηση του ενός προκαλεί την αντίστοιχη μείωση του άλλου. Για παράδειγμα, αν διπλασιάσουμε το ένα ποσό, το άλλο θα υποδιπλασιαστεί (θα μειωθεί στο μισό).

β. Πώς τα λύνουμε: Με πίνακα Ποσών και Τιμών
Οργανώνουμε τα δεδομένα μας ακριβώς όπως και στα ανάλογα ποσά, σε έναν πίνακα. Η μεγάλη διαφορά βρίσκεται στο πώς φτιάχνουμε την εξίσωση:

• Στα ανάλογα ποσά πολλαπλασιάζουμε "χιαστί".

• Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά πολλαπλασιάζουμε κάθετα (τον πάνω αριθμό με τον κάτω αριθμό της ίδιας στήλης), γιατί το γινόμενό τους είναι σταθερό.

Παράδειγμα:

Ένα αυτοκίνητο που κινείται με σταθερή ταχύτητα 60 χλμ/ώρα χρειάζεται 4 ώρες για να καλύψει μια απόσταση. Πόσες ώρες θα χρειαζόταν για την ίδια απόσταση αν η ταχύτητά του ήταν 80 χλμ/ώρα;

Λύση

1. Φτιάχνουμε τον πίνακα

2. Σκεφτόμαστε: Είναι τα ποσά μας ανάλογα ή αντιστρόφως ανάλογα; Η απάντηση είναι: αντιστρόφως ανάλογα, επειδή όσο αυξάνεται η ταχύτητα τόσο μειώνεται ο χρόνος που θα κάνουμε. 

3. Επειδή τα ποσά μας είναι αντιστρόφως ανάλογα, λύνουμε το πρόβλημα πολλαπλασιάζοντας τον πάνω αριθμό με τον κάτω. Η εξίσωση που θα σχηματίσουμε είναι: 

80 * x = 60 * 4
80 * x = 240
x = 240 : 80
x = 3

Απάντηση: Με ταχύτητα 80 χλμ/ώρα, το αυτοκίνητο θα χρειαζόταν 3 ώρες.

3. Ποσοστά - Τα 3 διαφορετικά είδη προβλημάτων

Τα προβλήματα ποσοστών λύνονται πάντα πιο εύκολα και σίγουρα με πίνακα ποσών και τιμών, ακριβώς όπως τα ανάλογα ποσά (πολλαπλασιάζοντας πάντα "χιαστί", επειδή όταν έχουμε ποσοστά, τα ποσά μας είναι πάντα ανάλογα). Το μυστικό είναι να θυμόμαστε ότι η αρχική τιμή ή το συνολικό ποσό αντιστοιχεί πάντα στο 100%.

Ανάλογα με το τι ψάχνουμε, διακρίνουμε 3 βασικές περιπτώσεις:

Α. Αναζητάμε την Τελική Τιμή (Γνωρίζουμε την αρχική τιμή και το ποσοστό)

Σε αυτή την περίπτωση ξέρουμε από πού ξεκινάμε και θέλουμε να βρούμε πού καταλήγουμε μετά από μια αύξηση (π.χ. ΦΠΑ, κέρδος) ή μείωση (π.χ. έκπτωση).

Παράδειγμα:

Ένα ποδήλατο κοστίζει 200€ χωρίς ΦΠΑ. Αν ο ΦΠΑ είναι 24%, ποια είναι η τελική του τιμή;

Λύση

1. Φτιάχνουμε τον πίνακα. Προσέχουμε να βάλουμε τους αριθμούς στη μία στήλη των Τιμών και τα ποσοστά στην άλλη. Σκεφτόμαστε: Η τιμή του ποδηλάτου (αρχική τιμή) είναι 200€ και αντιστοιχεί στο 100%. Εμείς ψάχνουμε την αξία του ΦΠΑ (του 24%).

2. Λύνουμε την εξίσωση: 

100 * x = 24 * 200
100 * x = 4800
x = 4800 : 100
x = 48

3. Μαζεύουμε τις πληροφορίες για να λύσουμε το ερώτημα: Ο ΦΠΑ είναι 48€ και η αρχική τιμή είναι 200€. Άρα, η τελική τιμή θα είναι:
200 + 48 =248 €

Β. Αναζητάμε την Αρχική Τιμή (Γνωρίζουμε την τελική τιμή και το ποσοστό)

Εδώ ξέρουμε την τιμή "μετά" την αλλαγή και θέλουμε να βρούμε το αρχικό μας 100%, το οποίο είναι και ο άγνωστος $x$.

Παράδειγμα:

Ένα ζευγάρι παπούτσια πουλήθηκε 64€ μετά από έκπτωση 20%. Ποια ήταν η αρχική του τιμή;

Εξήγηση: Η αρχική τιμή (που δεν ξέρουμε) είναι το 100%. Αφού έγινε έκπτωση 20%, τελικά πληρώσαμε το 80% της αξίας τους (100% - 20% = 80%).

Λύση

1. Φτιάχνουμε πίνακα ποσών-τιμών

2. Λύνουμε την εξίσωση

80 * x = 64 * 100
80 * x = 6400
x = 6400 : 80
x = 80

3. Απάντηση: Η αρχική τιμή ήταν 80€. 

Γ. Αναζητάμε το ποσοστό % (Γνωρίζουμε την τελική τιμή και την αρχική τιμή)

Σε αυτή την περίπτωση έχουμε όλα τα νούμερα του προβλήματος και αυτό που μας λείπει είναι το ποσοστό. Ο άγνωστος $x$ μπαίνει στη γραμμή του ποσοστού.

Παράδειγμα:

Σε μία τάξη με 25 μαθητές, υπάρχουν 15 κορίτσια. Τι ποσοστό (%) της τάξης είναι τα κορίτσια;

Εξήγηση: Το σύνολο των μαθητών (25 άτομα) αντιστοιχεί στο 100%. Εμείς ψάχνουμε το ποσοστό $x$ που αντιστοιχεί στα 15 κορίτσια.