Ας εξασκηθούμε ...

• Η Φωτεινή μας βάζει τους παρακάτω γρίφους από το βιβλίο "Ο γρίφος του Αϊνστάιν"

• Έχετε δύο δοχεία, το ένα χωρητικότητας 3 λίτρων και το άλλο 5 λίτρων νερό και μια βρύση. Πως μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα δύο δοχεία ώστε να υπολογίσετε τα τέσσερα λίτρα νερό;

Λύση: Γεμίζετε το δοχείο των 5 λίτρων, μετά γεμίζετε με αυτό το δοχείο των 3 λίτρων, οπότε θα μείνουν 2 λίτρα στο δοχείο των 5 λίτρων.  Αδειάζετε το δοχείο των 3 λίτρων και μετά ρίχνετε σε αυτό 2 λίτρα που απέμειναν στο δοχείο των 5 λίτρων. Μετά ξαναγεμίζετε το δοχείο των 5 λίτρων και το χρησιμοποιείτε για να γεμίσετε στο δοχείο των 5 λίτρων (το οποίο έχει ήδη 2 λίτρα). Αυτό θα σας δώσει 4 λίτρα στο δοχείο των 5 λίτρων.

• Ο Γέρο βασιλιάς αποφάσισε να ορίσει έναν άθλο για να προσδιορίσει ποιος από τους δύο γιους του θα κληρονομήσει το βασίλειό. Τους λέει ότι ο γιος του οποίου το άλογο θα φτάσει τελευταίο στην εκκλησία στην κορυφή του λόφου θα είναι ο επόμενος βασιλιάς. Ο νεότερος γιος αμέσως πηδά πάνω σε ένα άλογο και τρέχει όσο πιο γρήγορα μπορεί προς την εκκλησία.  Ο βασιλιάς ήταν συνεπής στην απόφασή του, γιατί;

• Λύση:Ο μικρότερος γιος πήδηξε πάνω στο άλογο του μεγαλύτερου γιου.

•  Κάποια βακτήρια σε ένα μπολ διαιρούνται κατά λεπτό σε δύο ίσα μέρη που έχουν το ίδιο μέρος με το αρχικό βακτήριο, και τα και τα οποία τον επόμενο λεπτό διαιρούνται και αυτά και ούτε καθεξής.Το μπολ αυτό γέμισε στις 12:00 το μεσημέρι. Πότε ήταν γεμάτο μέχρι τη μέση;.

• Λύση:Το μπολ ήταν μισογεμάτο ένα λεπτό νωρίτερα.

•      Γεννήθηκαν δύο αγόρια από την ίδια μητέρα,την ίδια μέρα,την ίδια ώρα,το ίδιο έτος και όμως δεν είναι δίδυμα.

         Πώς γίνεται αυτό;

• Απάντηση: Τα δύο αγόρια είναι δύο από τρίδυμα.

• Ο Ηλίας μας βάζει να σκεφτούμε ...

  Σε μία πόλη οποιοιδήποτε δύο γνωστοί δεν έχουν κοινούς γνωστούς και οποιοιδήποτε δύο άγνωστοι έχουν ακριβώς δύο κοινούς γνωστούς. Αποδείξτε ότι όλοι οι κάτοικοι έχουν τον ίδιο αριθμό γνωστών.

• Λύση:

  Έστω ότι οι Α και Β γνωρίζονται και έστω Σ(Α) και Σ(Β) τα σύνολα των γνωστών των Α και Β. Η τομή των δύο συνόλων είναι το κενό σύνολο εξ υποθέσεως. Θα δείξουμε ότι υφίσταται μία ένα προς ένα και επί αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων των δύο συνόλων.
  Έστω Α1 ένας γνωστός του Α. Ο Α1 δεν μπορεί να είναι γνωστός του Β εξ υποθέσεως. Άρα είναι άγνωστοι και συνεπώς έχουν ακριβώς δύο κοινούς γνωστούς. Ο ένας είναι ο Α και ο άλλος θα είναι κάποιος γνωστός του Β. Επαναλαμβάνοντας τον συλλογισμό για κάθε γνωστό του Α προκύπτει πως κάθε στοιχείο του συνόλου Σ(Α) αντιστοιχεί σε κάποιο στοιχείο του συνόλου Σ(Β). Αν δύο γνωστοί του Α, οι Α1 και Α2, γνώριζαν τον ίδιο γνωστό του Β, τον Β1, τότε ο Β1 και ο Α θα είχαν τρεις κοινούς γνωστούς, τους Α1, Α2 και Β, κάτι που απαγορεύεται εξ υποθέσεως. Άρα η αντιστοιχία από το Σ(Α) προς το Σ(Β) είναι ένα προς ένα.
  Επαναλαμβάνοντας τα ίδια επιχειρήματα για τον Β καταλήγουμε με συμμετρικό τρόπο ότι η αντιστοιχία από το Σ(Β) προς το Σ(Α) είναι επίσης ένα προς ένα. Άρα μεταξύ των στοιχείων των συνόλων Σ(Α) και Σ(Β) υπάρχει αντιστοιχία ένα προς ένα και επί, δηλαδή ότι ο Α έχει το ίδιο πλήθος γνωστών με τον Β.
  Έστω τώρα ότι οι Γ και Δ δεν γνωρίζονται. Αυτοί εξ υποθέσεως έχουν δύο κοινούς γνωστούς, έστω τους Ε και Ζ.
  Επαναλαμβάνοντας το πρώτο μέρος της απόδειξης για τους γνωστούς Γ και Ε καταλήγουμε πως έχουν το ίδιο πλήθος γνωστών. Το ίδιο συμβαίνει και για τους Ε και Δ. Άρα αφού ο Γ έχει το ίδιο πλήθος γνωστών με τον Ε και ο Ε έχει το ίδιο πλήθος γνωστών με τον Δ, συνεπάγεται ότι ο Γ έχει το ίδιο πλήθος γνωστών με τον Δ.
  Αποδείξαμε τελικά πως δύο κάτοικοι, είτε είναι μεταξύ τους γνωστοί είτε άγνωστοι, έχουν το ίδιο πλήθος γνωστών και αφού αυτό ισχύει για οποιουσδήποτε δύο κατοίκους σημαίνει πως όλοι οι κάτοικοι έχουν το ίδιο πλήθος γνωστών.

• Η Ισαβέλλα μας βάζει αινίγματα...

1. Tέσσερα αδελφάκια αγκαλιασμένα, σε ένα σεντούκι είναι κλεισμένα.
2. Έχει ξάδελφο τον σκύλο κι όμως δεν τον έχει φίλο.
3. Μικρή μικρή νοικοκυρά, μεγάλη πίτα φτιάχνει.
4. Ουρανός ατσάλι και γη πετάλι, γάτου ποδάρι και φιδιού κεφάλι.
5. Σαράντα δύο πουκάμισα, απ'έξω το παλιό μου.
6. Γεννημένη σε κουκούλι,μαθημένη από μικρούλι,να κουνάει με χαρά τα δικά της τα φτερά.

Απαντήσεις: 

1. Το καρύδι                                          3. Η μέλισσα                               5. Το κρεμμύδι
2. Ο λύκος                                              4. Η χελώνα                                6. Η πεταλούδα